3.2 Signal der Satelliten

Durch die GPS-Satelliten werden zwei Signale zur Verfügung gestellt, auf welchen die Daten zur Positionsbestimmung kodiert werden. Auf der Frequenz L1 wird der sog. C/A-Code (Coarse Acquisition Code) ausgesen-det. Die Frequenz L2 ist militärischen Diensten vorbehalten. Auf dieser wird der verschlüsselte P-Code ausgesendet. Dieser kann zwar auch von zivilen Anwendern empfangen werden, jedoch sind dazu spezielle Empfänger notwendig.
Die Übertragung der Daten von den GPS-Satelliten erfolgt durch Phasen-modulation (vgl. Abb.6), wobei eine Technik zum Einsatz kommt, die man Pseudo Random Noise (PRN) nennt. Für den Beobachter mit einem Funkempfänger sieht das Signal wie ein Rauschen aus; deshalb der Name.
Die Übertragungstechnik möchte ich zwar erwähnen, nicht aber näher dar-auf eingehen: Code Division Multiple Access (CDMA) (nach THALLER, 1999:24). Damit die beiden Techniken nicht verwechselt werden, erwähne ich noch folgendes: PRN ist das eigentliche Signal und CDMA ist die Technik wie das PRN übertragen wird. (nach THALLER 1999:33ff)
Wir wissen, dass die Satelliten zu einem exakt definierten Zeitpunkt ihr Signal aussenden. Zur gleichen Zeit wird im Empfänger dasselbe Signal erzeugt. Empfangen wir nun das Signal des Satelliten, so können wir durch Phasenverschiebung die Laufzeit des Signals bestimmen. Abb.6 soll dies verdeutlichen.

3.3 Berechnung der Position

Um eine Positionsbestimmung durchzuführen, müssen wir das Signal von mindestens vier Satelliten empfangen können. Daraus berechnen wir die Laufzeiten.
Theoretisch reichen drei Satelliten für eine Positionsbestimmung. Es braucht aber vier Satelliten, um die Uhrzeit im Empfänger zu korrigieren.
Wie wir bereits in Kapitel 3.1 gesehen haben, könnte man theoretisch mittels Verwendung der Gleichung

die Position des Benutzers bestimmen. In der Praxis aber ist die Sache nicht ganz so einfach, denn es tauchen viele Fehler auf, die alle zu eliminieren, respektiv zu minimieren sind.
Die Position des Empfängers wird nicht direkt berechnet, sondern dessen Abweichung zur wahren Position. Mit dieser können wir dann unsere Position um den entsprechenden Wert korrigieren. Es wird so vorgegangen, dass die eigene Position geschätzt wird und dann so korrigiert wird, bis sie eine genügend kleine Abweichung zur wahren Position hat. Die Schätzung ist meistens die zuvor berechnete Position.
Um die Position des Benutzers (XAnw, YAnw, ZAnw) bestimmen zu können, brauchen wir die Position der einzelnen Satelliten (XSat, YSat. ZSat) und deren Signallaufzeiten (Δt) zum Benutzer. Grundsätzlich kann die Distanz vom Benutzer zu einem Satelliten mit folgender Gleichung bestimmt werden:

Der Zeitpunkt der Aussendung des Satellitensignals ist dank den eingebauten Atomuhren genau bekannt. Die Uhr im Empfänger aber läuft nicht ganz synchron mit der Systemzeit von GPS und geht um Δt0 vor oder nach. Um diesen Fehler so weit als möglich zu minimieren, müssen wir ihn mit einem entsprechenden Faktor bei der Berechnung berücksichtigen.
Wir können dann nicht mehr die exakte Distanz zwischen dem Benutzer und dem Satelliten berechnen, sondern nur eine mit Fehlern behaftete. Die Gleichung sieht dann wie folgt aus:

Die Gleichung gilt für die Berechnung der Pseudo Range eines einzelnen Sa-telliten. Unter Einbezug aller benötig-ten Satelliten, erhalten wir ein Gleichungssystem bestehend aus vier Gleichungen und vier Unbekannten (XAnw, YAnw, ZAnw, Δt0). Weil wir vier Gleichungen benötigen, um die vier Unbekannten zu berechnen, brauchen wir auch vier Satelliten, die je eine Gleichung liefern.
Die erhaltenen vier Gleichungen ergeben ein nichtlineares Gleichungssystem. Um das Gleichungssystem lösen zu können, wird aus dem nichtlinearen Gleichungssystem ein lineares gemacht . Dies kann so verstanden werden, dass man für jede Gleichung des Systems eine Näherungsgerade in einem bestimmten Bereich berechnet. Für GPS bedeutet dies konkret, dass man seine eigene Position annimmt.

Mit Hilfe von Matrizen können wir nun das Gleichungssystem lösen. Als Lösung erhalten wir ΔX, ΔY, ΔZ und Δt0. ΔX, ΔY, ΔZ sind die entsprechenden Abweichungen der Koordinaten zur wahren Position. Δt0 ist der Betrag des Uhrenfehlers und wird für die Korrektur der Uhr im Empfänger gebraucht.
Wir ändern nun unsere zu Beginn geschätzte Position um die berechneten Abweichungen. Diese neuen Koordinaten werden sehr wahrscheinlich noch nicht unserer wahren Position entsprechen. So ist es nötig, mittels eines iterativen Rechenverfahrens die ganze Rechnung mehrmals durchzuführen, bis wir eine befriedigende Genauigkeit erhalten. Die Anforderung an die Genauigkeit hängt von den Bedürfnissen des Benutzers ab. So ist z.B. für den Wanderer eine Genauigkeit von 10 Metern ausreichend, für die Vermessung aber nicht. Je nachdem wird dann das iterative Rechenverfahren mehr oder weniger wiederholt.